Une propriété des points de la courbe de la fonction inverse

Soit \(f\) la fonction inverse, définie pour tout nombre réel non nul par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
Soit \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative et \(\mathcal (d)\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point \(\text{A}\) d’abscisse \(a\), avec \(a \neq0\).
\(\text P\) et \(\text Q\) sont les points d'intersection de \(\mathcal (d)\) avec, respectivement, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Partie A : conjecture

Le fichier de géométrie dynamique suivant illustre la situation. En déplaçant le point \(\text A\) sur la courbe \(\mathcal{C}_f\), conjecturer une relation entre les points \(\text A\), \(\text P\) et \(\text Q\).

Partie B : un cas particulier

Dans cette partie, on considère \(\text A (1~;1)\).
1. Déterminer l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point \(\text{A}\) .
2. Démontrer que les coordonnées de \(\text P\) sont \((2~;0)\) et que les coordonnées de \(\text Q\) sont \((0~;2)\).
3. Démontrer que \(\text A\) est le milieu du segment \([\text{PQ}]\).

Partie C : démonstration
On considère \(\text A \left(a~;\dfrac{1}{a}\right)\).
1. Déterminer l'équation de \((d)\) en fonction de \(a\).
2. Déterminer les coordonnées du point \(\text{P}\) et du point \(\text{Q}\) en fonction de \(\text A\).
3. Démontrer que \(\text A\) est le milieu du segment \([\text{PQ}]\).